Exercicios Permutação Com Repetição

Permutação com repetição na prática

A fórmula é P = n! / (n! × n! × ... × n!), onde n é o total de elementos e cada n é a quantidade de itens repetidos. Todo mundo decorando isso, mas a parte que as pessoas erram é identificar corretamente quais grupos são repetições e quando simplesmente não usar a fórmula. O erro mais comum que eu vejo em corrigir provas é o estudante confundir permutação com repetição com arranjo. São coisas diferentes. Arranjo leva em conta a ordem e não usa repetição dos mesmos elementos — você está contando seleções de k itens entre n. Permutação com repetição parte de um conjunto fixo onde alguns elementos se repetem dentro dele. Se o exercício diz "quantas palavras podemos formar com as letras da palavra BANANA", isso é permutação com repetição, não arranjo. Bananas com três A e dois N formam 6 letras no total, então calcule 6! dividido por (3! × 2! × 1!). O resultado é 60. Simples, mas a confusão conceitual acontece o tempo todo.

exercicios permutação com repetição

Vou passar uns exercícios agora. Se você tá estudando isso, o ideal é fazer pelo menos dez antes de ir pra próxima matéria. Exercício 1: Quantos anagramas existem da palavra "CASA"?

CASAS tem 4 letras. C=1, A=2, S=1. Então: 4! / (2! × 1! × 1!) = 24 / 2 = 12. Exercício 2: Quantos números de 5 algarismos podemos formar usando apenas os dígitos 1, 2 e 2, 3 e 3?

Aqui temos 5 dígitos no total, com dois 2s e dois 3s. 5! / (2! × 2!) = 120 / 4 = 30. Mas aí vem uma pegadinha que cai em prova toda hora: se o número precisa ter 5 algarismos e o primeiro não pode ser zero, isso não se aplica aqui porque não tem zero, mas em problemas com dígito zero a restrição muda completamente a abordagem. Exercício 3: De quantas formas podemos organizar 7 pessoas em uma fila se duas delas são indistinguíveis (gêmeos idênticos, por exemplo)?

7! / 2! = 5040 / 2 = 2520. Se fossem três gêmeos idênticos, seria 7! / 3! = 840. Exercício 4: Quantas palavras de 8 letras podem ser formadas com as letras da palavra "ESTATÍSTICA"?

ESTATÍSTICA tem 11 letras, não 8. E vamos contar as repetições: E=1, S=2, T=3, A=2, I=2, C=1. Total de 11. 11! / (3! × 2! × 2! × 2!) = 39916800 / (6 × 2 × 2 × 2) = 39916800 / 48 = 831600. Exercício 5: Quantos anagramas existem da palavra "MATEMÁTICA" que começam e terminam com a letra A?

Primeiro fixamos os As nas pontas. Sobram M, T, E, M, Á, T, I, C — 8 letras restantes, com M=2 e T=2. Então 8! / (2! × 2!) = 40320 / 4 = 10080. Uma coisa que os livros didáticos não dizem é que permutação com repetição funciona apenas quando a ordem importa e todos os elementos do conjunto são usados. Se você precisa selecionar apenas um subconjunto, aí entra combinação com repetição ou arranjo, que são outra história. Confundir esses três é o motivo número um de gente travar em questões de combinatória.

Outro detalhe prático: quando os fatoriais ficam grandes demais, não tente calcular 20! de cabeça. Você pode simplificar frações cancelando fatoriais. Por exemplo, 8! / (3! × 5!) não precisa ser calculado como 40320 / (6 × 120). Você cancela o 5! de cima com o de baixo e sobra 8×7×6 / (3×2×1) = 56. Isso corta o trabalho e reduz o risco de erro aritmético em pelo menos 70%. Quase caí numa enrascada dessas uma vez corrigindo uma lista de alunos. A questão pedia anagramas de "RECREIO" que tivessem as vogais juntas. Eu resolvi como se fosse tudo permutação com repetição normal e esqueci que a restrição de "vogais juntas" exige tratar as vogais como um bloco único. Aí vira permutação com repetição dentro do bloco multiplicada pela permutação do bloco com as consoantes. O resultado certo foi P(5; 2 repetições para os E) × P(5) = 10 × 120 = 1200. Se eu tivesse feito 7! / 2! = 2520, estaria errado porque não respeitava a condição de aglutinação. Aprendi a sempre marcar as restrições com um highlight antes de aplicar qualquer fórmula.

Exercício 6: De quantas formas podemos distribuir 6 balas idênticas entre 3 crianças distintas? Esse aqui não é permutação com repetição. É combinação com repetição (arranjo com repetição de conceitos diferentes). A resposta é C(8,3) = 56. Se alguém marcar essa como P = 6!/0! num gabarito, a questão está mal formulada ou o aluno errou o tipo de problema.

Exercício 7: Quantos anagramas existem da palavra "FUKESEI"? F,U,K,E,S,E,I — 7 letras, com E=2. 7! / 2! = 5040 / 2 = 2520.

Exercício 8: De quantas formas podemos colocar 4 bolas vermelhas indistinguíveis e 3 bolas azuis indistinguíveis em uma fila? 7! / (4! × 3!) = 5040 / (24 × 6) = 5040 / 144 = 35.

Para praticar mais, procure bancos de questões do ENEM e de vestibulares como Fuvest e Unicamp. A maioria dos exercícios de combinatória que envolvem repetição caem nesse padrão. Se quiser algo mais direcionado, o site do Prof. García tem uma lista bem organizada de exercícios de permutação com repetição com gabarito comentado, e o canal do Knobels no YouTube também resolve muitos exemplos passo a passo. Não tem link aqui porque varia muito o URL, mas digitando o nome junto com "exercícios resolvidos" você acha rápido. O ponto mais importante é entender quando NÃO usar a fórmula. Se os elementos não se repetem, usa permutação simples (n!). Se a ordem não importa e você está escolhendo subconjuntos, é combinação. Se há repetição e ordem não importa, é combinação com repetição. A permutação com repetição mora naquele intervalo específico onde ordem importa, todos os elementos são usados, e alguns se repetem. Manter isso claro evita metade dos erros.