O que é arranjo com repetição e por que ele aparece em todo lugar
Você provavelmente já precisou calcular combinações de senha, códigos ou códigos numéricos onde os elementos podem se repetir. A fórmula de arranjo com repetição resolve exatamente esse problema. É uma ferramenta básica, mas quando você começa a brincar com grandes volumes de dados, os erros comuns aparecem rápido.
Como usar a formula arranjo com repetição
O cálculo é simplesmente A(m, n) = mn. Você pega a quantidade disponível de elementos (m) e eleva à potência do número de posições que precisa preencher (n). Pronto. Não precisa complicar mais do que isso. Por exemplo: se você quer gerar senhas numéricas de 4 dígitos usando os números de 0 a 9, tem 10 elementos disponíveis (m = 10) e precisa preencher 4 posições (n = 4). O resultado é 104 = 10.000 combinações possíveis.
No meu trabalho, lido com isso o tempo todo em projetos de segurança da informação. Uma vez, precisei calcular o espaço de busca para um brute-force em um sistema legado que usava códigos de acesso de 6 dígitos onde alguns dígitos eram fixos e outros podiam variar. A pegada era que apenas 4 das 6 posições eram variáveis, então eu não aplicava mn de forma bruta. Eu isolava as 4 posições móveis, calculava 104 = 10.000, e depois multiplicava pelo número de opções fixas em cada posição restrita. Isso reduziu o tempo de execução de algo como 40 minutos para cerca de 3 minutos no script que eu escrevi.
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Quando NÃO usar essa fórmula
A armadilha mais comum é confundir arranjo com repetição com permutação com repetição. São coisas diferentes. Arranjo com repetição considera a ordem dos elementos (posição importa), enquanto permutação com repetição trata de agrupamentos onde você tem elementos repetidos dentro do próprio conjunto. Se o seu problema envolve reorganizar letras de uma palavra como "BANANA", aí é permutação com repetição, não arranjo. Outro caso onde a fórmula falha completamente: quando há restrições entre as posições. Digamos que você quer formar números de 3 dígitos usando os algarismos 1 a 9, mas o primeiro dígito não pode ser igual ao segundo. A fórmula simples mn não funciona aqui porque há uma dependência condicional entre as casas. Nesse cenário, eu resolvia multiplicando as opções de cada posição separadamente: primeiro dígito (9 opções), segundo dígito (8 opções, excluindo o primeiro), terceiro dígito (9 opções, podendo repetir o primeiro). Resultado: 9 × 8 × 9 = 648. A diferença é enorme se você simplesmente aplicasse 93 = 729 e achasse que estava certo.
Pegadinhas avançadas que quase ninguém explica
Uma coisa que vejo muita gente errando é a interpretação do parâmetro m. Em muitos livros didáticos, m é apresentado como "número de elementos do conjunto". Mas na prática, o que importa é o número de opções disponíveis para cada posição individual. Se você está montando placas de carro no modelo antigo (3 letras + 4 dígitos), as letras vêm de um alfabeto de 26 e os dígitos de 10. Você não aplica uma única fórmula para tudo junto. Você calcula separadamente: 263 × 104 = 17.576 × 10.000 = 175.760.000 combinações totais. A segunda pegadinha, bem mais sutil: quando m é menor que n, a fórmula ainda funciona. Muita gente acha que isso é impossível ou dá erro, mas não é. Se você tem 3 cores de tinta (m = 3) e quer pintar 5 faixasVerticais de um poste (n = 5), repetindo cores, o resultado é 35 = 243. Não há problema algum em n ser maior que m. O único requisito é que ambos sejam inteiros positivos.
Se o seu problema envolve combinações onde a ordem não importa e há repetição, aí a ferramenta certa é a combinação com repetição (C(m+n-1, n)), que é outra história. Mas Confie na fórmula arranjo com repetição para tudo que envolva sequências, senhas, códigos e disposições ordenadas onde repetition é permitida. Ela é rápida, direta e funciona desde que as condições estejam claras.
