Resolvendo questões de progressão geométrica na prática
Progressão geométrica aparece em praticamente todo edital de concurso e vestibular que tenha matemática no conteúdo programático. A boa notícia é que o padrão é sempre o mesmo. A má notícia é que as bancas adoram complicar quando não precisam.
O que você realmente precisa saber sobre questões sobre pg
Antes de começar a treinar, precisa dominar duas coisas: a fórmula do termo geral e a soma dos termos. Tudo que cai de PG depende disso. O termo geral é a_n = a_1 . q^(n-1). Onde a_n é o último termo, a_1 é o primeiro, q é a razão e n é a posição. Parece simples até a banca pedir pra você achar a posição em vez do valor.
Já a soma dos n termos é S_n = a_1.(q^n - 1) / (q - 1) para q diferente de 1. Se q for menor que 1, alguns alunos travam na hora de aplicar porque o resultado fica com números decimais no denominador. Não tem mistério, o cálculo é o mesmo. Tem ainda a soma infinita quando zero menos um módulo de q for menor que um. Aí vira S = a_1 / (1 - q). Isso cai bastante em questões de limites e crescimento populacional ou decaimento radioativo disfarçado de PG.
Um caso que vi dar errado com frequência
No CESGRANRIO tinha uma questão onde a PG estava implícita num problema de juros compostos. O candidato médio via juros compostos e pensava em fórmula de juros, não em PG. A prova pedia explicitamente pra usar progressão geométrica. Eu fiz o mesmo erro na primeira vez que vi esse tipo de questão e levei cinqüenta minutos pra perceber que era só identificar o montante como termo geral. A dica prática é: quando o enunciado falar de crescimento ou decaimento proporcional a um valor anterior, pare e verifique se a razão é constante. Se for, resolve com PG direto e economiza tempo.
Pegadinhas comuns que as bancas usam
Uma coisa que muita gente erra é confundir índice. A fórmula usa n menos um porque a contagem começa no termo Um. Se a questão pedir o quinto termo e a razão for dois com primeiro termo três, o resultado não é três vezes dois elevado a cinco. É três vezes dois elevado a quatro. Esse erro aparece em quase metade dos simulados que já corrigi. Outra pegadinha clássica é a questão pedir a soma a partir de um termo intermediário, não do primeiro. A solução é calcular a soma até o termo final e subtrair a soma até o termo anterior ao início do intervalo. Funciona pra qualquer faixa que a banca escolher.
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Também tem a questão onde a razão é negativa. Aí os termos alternam sinal. Nesses casos a soma pode dar valor menor do que o esperado e o aluno desconfia que errou. Não necessariamente errou.
Método rápido pra resolver questões na hora da prova
Identifique primeiro o que é dado e o que é pedido. Se o primeiro termo e a razão estão claros, use a fórmula direta. Se faltar um deles, monte uma equação exponencial. Pra achadar o número de termos, use logaritmo. A maioria das bancas permite calculadora com essa função. Quando a questão envolve produtos de termos em PG, tem um atalho. O produto de termos simétricos é sempre igual. Multiplicar o primeiro pelo último é o mesmo que multiplicar o segundo pelo penúltimo. Isso reduz bastante a conta em questões de múltipla escolha onde uma das alternativas é um produto.
Interpolacão geométrica
Inserir termos entre dois valores conhecidos também cai. Se você tem o termo Um igual a oito e o termo Quatro igual dezoito e oito, a razão é a raiz cúbica de dois ponto dois cinco. Em provas sem calculadora, às vezes as bancas escolhem números que dão razão inteira pra facilitar. Fique de olho nisso.
Quem não funciona pra quem
PG clássica com razão constante não serve pra situações onde a variação é percentual sobre valores crescentes de forma acumulativa irregular. Nesse caso a progressão não se mantém e você precisa recorrer a outra ferramenta. Já vi candidato insistir em PG numa questão de inflação acumulada e perder tempo precioso tentando encaixar números que não entravam. Outro limite importante: séries que alternam entre crescimento e decrescimento sem padrão fixo de razão não são PG. Às vezes a banca apresenta uma sequência com crescimento rápido num trecho e desaceleração noutro e o candidato identifica PG por impulso. Verifique sempre se a divisão entre termos consecutivos produz sempre o mesmo valor.
Onde encontrar exercícios bons
Para questões sobre pg, os melhores materiais são as provas da FGV, do CESGRANRIO e do IBFC, porque essas bancas costumam cobrar aplicações menos óbvias. Os livros do Smole e de Dionísio também têm boa seleção com resolução comentada. Se quiser praticar com nível mais alto, busque questões de olimpíadas matemáticas e do IME/ITA. Lá a PG aparece misturada com combinatória e análise, o que exige domínio melhor da técnica.
O caminho mais eficiente é resolver pelo menos trinta questões variadas de bancas diferentes antes da prova. A repetição expõe os padrões e reduz o tempo de leitura do enunciado de dois minutos para talvez quarenta segundos em questões padrão.
